2: Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств.
3: Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:
4: Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) 0 равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).
5: Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1) где - некоторые функции Теорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств: (2)
6: Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана.
7: Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции. И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.
8: Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств: (4)
9: Если , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство .
12: Доказательство Пусть loga f- loga g 0, то есть loga f loga g, причём a 0, a 1, f 0, g 0. Если 0 a 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f g. Значит, выполняется система неравенств a -1 0 верное на области определения выражения F loga f- logag. Если a 1, то f g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f – g) 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f – g) 0 на области допустимых значений (a 0, a 1, f 0, g 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. a – 1 0 f – g 0 f – g 0 Из каждой системы следует неравенство loga f loga g, то есть loga f- loga g 0. Аналогично, рассматриваются неравенства F 0, F 0, F 0.
13: Пусть некоторое число а 0 и а 1, тогда имеем Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или (h-1)(f-g) .
14: Так как то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).
15: Из неравенства 0 следует . Пусть число а 1, тогда loga loga или (h – g)loga h 0. Отсюда с учётом замены 1б и условия a 1 получаем (f – g)(a – 1)(h – 1) 0, (f – g)(h – 1) 0. Аналогично, доказываются неравенства F 0, F 0, F 0. Доказательство проводится аналогично доказательству 4. Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств p q и p2 q2 ( p q и p2 q2).
33: Корянов А. Г. , Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972. Ткачук В. В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.
