1: Алгебра высказываний Решение логических задач Автор: Сергеев Евгений Викторович МОУ СОШ 4 г. Миньяра Челябинской области sergeev73mail. ru http://shk4-minyar. ucoz. ru
2: Задача 1: Составьте сложное высказывание в словесной форме из простых, заданных математическим формулировкам: Высказывание А: «Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку» Высказывание В: «Учащийся Иванов любит работать на компьютере».
3: Задача 2: Пусть p и q обозначают высказывания: p «Я учусь в школе» q «Я люблю информатику» составьте и запишите следующие высказывания: p (p)
4: Задача 3: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на формальном языке алгебры высказываний 45 кратно 3 и 42 кратно 3 45 кратно 3 и 12 не кратно 3 2 5 если 212 делится на 3 и на 4, то 212 делится на 12 212 – трехзначное число, которое делится на 3 и на 4
5: Задача 4: Составьте таблицу истинности для функции А В
6: Задача 5: Какие из следующих импликаций истинны если 2 2 4, то 2 3 если 2 2 4, то 2 3 если 2 2 5, то 2 3 если 2 2 5, то 2 3
7: Задача 6: Какие из следующих высказываний противоречивы a 1, a b 0 a 1, a b 0 a 1, a b 1 a 1, a b 1 a 0, a b 1 a 0, a b 1 a 0, a b 0 a 0, a b 0
8: Задача 7: Пусть: а «7 – простое», b «7 – составное», с «8 – простое» и d «8 – составное» Определите истинность высказываний а с а d b c c d
9: Задача 8: Какие из следующих высказываний истинны p p p p (p p) p p p p p p (p p) p
10: Задача 9: Даны значения: x 0, y 1, z 1. Определите логические значения высказываний x (y z) (x y) z x (y z) x y z (x y) (z y) ((x y) z) ((x z) (y z))
11: Задача 9. 1: Даны значения: x 0, y 1, z 1. Определите логические значения высказываний x (y z) x (1 1) x 1 0 1 0 (ложь)
12: Задача 9. 2: Даны значения: x 0, y 1, z 1. Определите логические значения высказываний (x y) z (0 1) z 0 z 0 1 0 (ложь)
13: Задача 9. 3: Даны значения: x 0, y 1, z 1. Определите логические значения высказываний x (y z) x (1 1) x 1 0 1 1 (истина)
14: Задача 9. 4: Даны значения: x 0, y 1, z 1. Определите логические значения высказываний x y z 0 1 z 0 z 0 1 1 (истина)
15: Задача 9. 5: Даны значения: x 0, y 1, z 1. Определите логические значения высказываний (x y) (z y) (x y) (z 1) (x y) (z 0) (x y) (z 0) (0 1) (1 0) 0 1 0 (ложь)
16: Задача 9. 6: Даны значения: x 0, y 1, z 1. Определите логические значения высказываний ((x y) z) ((x z) (y z)) ((0 1) z) ((0 1) (1 1)) (( 1 ) z) (( 0 ) ( 1 )) (1 1) (0 1) 1 1 1 (истина)
17: Задача 10: Упростите выражение: (А В) (А В) (А В) (А В) А (В В) А (В В) А ( 1 ) А
18: Задача 11: Упростите выражение: (А А) В (А А) В ( 1 ) В В
19: Задача 12: Упростите выражение: А (А В) (В В) А (А В) (В В) А (А В) ( 1 ) А (А В) 1 з-н поглощения А 1 А
20: Задача 13: Доказать справедливость закона поглощения для дизъюнкции: А (А В) А по таблицам истинности
21: Задача 14: Доказать справедливость закона поглощения для конъюнкции: А (А В) А по таблицам истинности
22: Задача 15: Доказать справедливость первого закона де Моргана: (А В) А В по таблицам истинности
23: Задача 16: Доказать справедливость второго закона де Моргана: (А В) А В по таблицам истинности
24: Задача 17: Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым или вторым уроком, информатика первым или третьим уроком, а физика – вторым или третьим. В расписании всего три урока. Сколько вариантов расписания с такими условиями можно составить?
25: Задача 17. Решение Пусть: М1 «Математика первым уроком» М2 «Математика вторым уроком» И1 «Информатика первым уроком» И3 «Информатика третьим уроком» Ф2 «Физика вторым уроком» Ф3 «Физика третьим уроком» Тогда расписание можно свести к выражению: (М1 М2) (И1 И3) (Ф2 Ф3)
26: Задача 17. Решение. Раскрытие скобок (М1 М2) (И1 И3) (Ф2 Ф3) (М1И1 М1И3 М2И1 М2И3) (Ф2 Ф3) М1И1Ф2 М1И3Ф2 М2И1Ф2 М2И3Ф2 М1И1Ф3 М1И3Ф3 М2И1Ф3 М2И3Ф3 Выбираем только непротиворечивые комбинации: Ответ: 1 вариант – Математика, Физика, Информатика 2 вариант – Информатика, Математика, Физика
27: Задача 18: В одной из смежных аудиторий может быть либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На одной двери написано: «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики», а на двери другого: «Кабинет информатики не здесь». Известно также, что высказывания на табличках тождественны. Определить, где какой кабинет
28: Задача 18. Решение Пусть: А «Информатика в кабинете 1», В «Информатика в кабинете 2» Тогда: А «Физика в кабинете 1», В «Физика в кабинете 2» Высказывание «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики»: Х А В, Высказывание «Кабинет информатики не здесь»: Y А Исходя из условия: X Y, т. е. Y (X Y) (Y X ) (X Y) (Y X ) Y Заменяем X и Y их выражениями: ((А В) А) ((А) (А В) ) (А)
29: Задача 18. Решение (продолжение) ((А В) А) ((А) (А В) ) (А) Упрощаем выражение: ((А В) А) (А (А В)) А
30: Задача 19. Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика. Клод утверждает, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик призывает не слушать ни того, ни другого. Кто из допрашиваемых говорил правду? Решение: Пусть показания свидетелей будут назваться буквами К, Ж и Д. Тогда известно, что: Если Клод сказал правду (К), то Жак лжет (Ж), иначе (если Клод солгал, К), то Жак сказал правду (Ж) Если Жак сказал правду (Ж), тогда Дик не прав, (Д), иначе лжет Жак (Ж), а Дик – прав (Д) Если лжет Дик (Д), то Клод и Жак правы (Ж и К), иначе последние лгут ((Ж и К)), а Дик – прав (Д)
31: Задача 19. Решение Выразим эти высказывания на формальном языке логики: К Ж К Ж Ж Д Ж Д Д К Ж Д (К Ж) Задача будет решена, если все три высказывания будут истинны, т. е. истинна их конъюнкция: (КЖ КЖ) (ЖД ЖД) (ДКЖ Д(К Ж)) (КЖ ЖД КЖЖД КЖЖД КЖЖД) (ДКЖ ДК ДЖ) (КЖЖД КЖЖД) (ДКЖ ДК ДЖ) (КЖЖДДКЖ КЖЖДДЖ КЖЖДДЖ КЖЖДДКЖ КЖЖДДЖ КЖЖДДЖ КЖЖДДЖ КЖЖДДЖ К Д Ж Итак, только Жак говорил правду
32: Задача 20. Нерадивый студент сдает компьютерный тест. Все ответы сводятся к ответам типа «Да» или «Нет». Один правильный ответ – один балл. Студенту известно, что: Первый и последний ответы противоположны Второй и четвертый ответы одинаковы Хотя бы один из первых двух ответов – «Да» Если четвертый ответ «Да», то пятый – «Нет» Ответов «Да» больше, чем ответов «Нет» Требуется получить 4 или более баллов
33: Задача 20. Решение Пусть: Первый ответ «Да» Второй ответ «Да» Третий ответ «Да» Четвертый ответ «Да» Пятый ответ «Да»
34: Таблицы истинности
