1: Алгоритм Евклида Составила: Антонова Е. П. 2009г.
2: Постановка Задачи Рассмотрим следующую задачу: требуется составить программу определения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел. Вспомним математику. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое они делятся нацело. Например, у чисел 12 и 18 имеются общие делители: 2, 3, 6. Наибольшим общим делителем является число 6. Это записывается так: НОД(12,18) 6. Обозначим исходные данные как М и N. Постановка задачи выглядит следующим образом: Дано: М, N Найти: НОД(М,N).
3: Решение Не существует формулы для нахождения НОД двух чисел. Но зато достаточно давно, задолго до появления ЭВМ, был известен алгоритмический способ решения этой задачи. Называется он алгоритмом Евклида.
4: Идея алгоритма Идея этого алгоритма основана на том свойстве, что если MN, то НОД(М,N) НОД(М - N,N). Иначе говоря, НОД двух натуральных чисел равен НОД их положительной разности и меньшего числа.
5: Доказательство Пусть К — общий делитель М и. N (MN). Это значит, что М тК, N пК, где т, п — натуральные числа, причем тп. Тогда М - N К(т - п), откуда следует, что К — делитель числа М - N. Значит, все общие делители чисел М и N являются делителями их разности M-N, в том числе и наибольший общий делитель. Отсюда: НОД(М,N) НОД(М - N,N). Второе очевидное свойство: НОД(М,М) М.
6: Алгоритм Евклида если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа, в противном случае продолжить выполнение алгоритма; заменить большее число разностью большего и меньшего из чисел; вернуться к выполнению п. 1.
7: Блок-схема алгоритма Евклида
8: Задание для практики: Напишите программу, реализующую алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя для двух натуральных чисел
9: Программа на языке Паскаль Program Evklid; var М, N : integer; begin writeln(Введите M и N); readln(M,N); while MN do begin if MN then M:M-N else N:N-M end; write(HOD,M) end.
