Функция y cos x. Ее свойства и график презентация в формате PowerPoint - скачать бесплатно

Скачать презентацию на тему: "Функция y cos x. Ее свойства и график" с количеством слайдов в размере 37 страниц. У нас вы найдете презентацию на любую тему и для каждого класса школьной программы. Мы уверены, что наши слайды помогут найти вам свою аудиторию. Весь материал предоставлен бесплатно, в знак благодарности мы просим Вас поделиться ссылками в социальных сетях и по возможности добавьте наш сайт MirPpt.ru в закладки.

Содержание [Показать]

Нажмите для просмотра
Функция y  cos x. Ее свойства и график

1: Функция y cos x Ее свойства и график

2: Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y cos x; Свойства функции y cos x; Изменение графика функции y cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Изменение свойств функции y cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств.

3: Построение графика Функция y cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок -1; 1. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у -1 и у 1.

4: Как использовать периодичность и четность при построении Так как функция периодическая с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2, например на отрезке - х ; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2n, nZ, график будет таким – же.

5: Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0; и отразим, полученную часть графика симметрично относительно оси OY.

6: Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2, 4 и т. д. вправо, на -2, -4 и т. д. влево, т. е. вообще на 2n, nZ.

7: Итак, график функции y cos x построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке 0; . Поэтому свойства функции y cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке 0; . Например, функция y cos x возрастает на отрезке -; 0, так как она убывает на отрезке 0; и является четной. Перечислим основные свойства функции y cos x.

8: Для этого нужно вспомнить Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций; Какие функции называются периодическими и как найти период функции; Какие функции называются четными (нечетными); Когда функция возрастает (убывает); Как найти нули функции; Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения; Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения.

9: Область определения Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки 1; 0 на угол х радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т. е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y sin x и y cos x. Таким образом, областью определения функций y sin x и y cos x является множество R всех действительных чисел.

10: Множество значений Чтобы найти множество значений функции y cos x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т. е. установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых cos x y. Известно, что уравнение cos x a имеет корни, если a 1, и не имеет корней, если a 1. Следовательно множеством значений функции y cos x является отрезок –1 у 1.

11: Периодичность Функция y f (x) называется периодической, если существует такое число Т 0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f (x – T) f (x) f (x T). Число Т называется периодом функции. Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x 2)sin x, cos(x 2) cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2. Такие функции называются периодическими с периодом 2.

12: Четность, нечетность Функция y f (x) называется четной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) f (x), график симметричен относительно оси ординат. Функция y f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) -f (x), график симметричен относительно начала координат.

13: Возрастание, убывание Функция y f(x) называется возрастающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т. е. если у1 y2 (y1 y2), то x1 x2 (x1 x2). Функция y f(x) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т. е. если у1 y2 (y1 y2), то x1 x2 (x1 x2).

14: Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольшее значения. Для того чтобы определить когда функция y cos x принимает значения, равные: нулю; положительные; отрицательные; наименьшее; наибольшее,

15: Свойства функции y cos x Область определения: D(f): х R; Множество значений: у -1;1; Периодичность: Т 2; Четность: четная, т. к. cos(-x) cos x, график симметричен относительно оси ординат; Функция возрастает при: 2n x 2(n1), nZ; Функция убывает при: n x 2n, n Z.

16: Свойства функции y cos x (продолжение) Функция принимает значения: Равные нулю при х/2n, nZ; Положительные при -/22n x /22n, nZ; Отрицательные при /22n x 3/22n, nZ; Наибольшее, равное 1, при x 2n, n Z; Наименьшее, равное –1, при x 2n, n Z.

17: Преобразование графика функции y cos x Изменение функции y cos x A y k cos x y - cos x y cos x

18: y cos x A Параллельный перенос графика функции у соs x вдоль оси ординат на А единиц вверх, если А 0 и на А единиц вниз, если А 0. Например: y cos x 2; y cos x – 1.

19: y cos x A (свойства) Изменяются множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения; нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y cos x 2. E (f): cos x 2 a cos x a – 2, т. к. – 1 y 1, то –1 а – 2 1 1 а 3, т. е. y 1; 3. Нули функции: cos x 2 0 cos x -2 данное уравнение не имеет корней т. к. -2 1 график данной функции не пересекает ось абсцисс. f (x) 0: при любом значении х. f (x) 0: нет. y (наиб) 3, при: x 2n, n Z (т. к. cos x 2 3 cos x 1 x 2n, n Z). y (наим) 1, при: x 2n, n Z (т. к. cos x 2 1 cos x - 1 x 2n, n Z).

20: y k cos x Растяжение графика функции у соs x вдоль оси ординат относительно оси абсцисс в k раз, если k 0 и сжатие в 1/k раз, если 0 k 1. Например: y 3 cos x; y 0,5 cos x.

21: y k cos x (свойства) Изменяется множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения. Например: y 3 cos x E (f): 3cos x a cos x a/3, т. к. – 1 y 1, то - 1 a/3 1 - 3 a 3, т. е. y -3; 3. Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при: x 2n, n Z (т. к. 3cos x 3 cos x 1 x 2n, n Z). Функция принимает наименьшее значение, равное – 3, при: x 2n, n Z (т. к. 3cos x - 3 cos x - 1 x 2n, n Z).

22: y - cos x Симметричное отражение графика функции y cos x относительно оси абсцисс.

23: y - cos x (свойства) Изменяются промежутки возрастания (убывания); промежутки положительных (отрицательных) значений. Функция возрастает на отрезке 0; и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n 1, 2, 3… Функция убывает на отрезке ; 2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n 1, 2, 3… Функция принимает положительные значения на интервале (/2; 3/2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n 1, 2… Функция принимает отрицательные значения на интервале (- /2; /2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2n, n 1, 2…

24: y cos x Часть графика, расположенная ниже оси абсцисс симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

25: y cos x (свойства) Изменяются: множество значений функции; период; промежутки возрастания (убывания); наибольшее (наименьшее) значение. E (f): y 0; 1 Периодичность: Т Функция возрастает на промежутке (/2; ) сдвиги на n, nZ Функция убывает на промежутке (0; /2) сдвиги на n, nZ f (x) 0: при любом значении х f (x) 0: нет y (наиб) 1, при х 2n, nZ y (наим) 0, при х /2 n, nZ

26: y cos (x – a) Параллельный перенос графика функции y cos x вдоль оси абсцисс на а единиц вправо, если а 0, на а единиц влево, если а 0. Например: y cos ( x - /2 ); y cos ( x /4 ).

27: y cos (x – a) (свойства) Изменяются: четность; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y cos (x /4) Четность: f (x) f (-x) -f (x), т. к. cos (-(x /4)) cos (-x - /4) Функция возрастает на 3/4; 11/4 сдвиги на 2n, nZ Функция убывает на -/4; 3/4 сдвиги на 2n, nZ f (x) 0 при х /4 n, nZ f (x) 0 при х (-3/4; /4) сдвиги на 2n, nZ f( (x)

28: y cos ( k x ) Сжатие графика функции y cos x вдоль оси абсцисс относительно оси ординат в k раз, если k 1 , и растяжение в 1/k раз, если 0 k 1. Например: y cos 3x; y cos 0,5x.

29: y cos ( k x ) (свойства) Изменяются: период; промежутки возрастания (убывания); нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y cos 3x Период: Т 2/3, (т. к. наименьший положительный период функции y cos x равен 2, то 3Т 2 Т 2/3). Функция возрастает на /3; 2/3 сдвиги на 2n/3, nZ. Функция убывает на 0; /3 сдвиги на 2n/3, nZ. f (x) 0 при х /6 n/3. f (x) 0 при х (-/6; /6) сдвиги на 2n/3, n Z. f (x) 0 при х (/6; /2) сдвиги на 2n/3, n Z.

30: y cos ( - x ) Симметричное отражение относительно оси абсцисс.

31: y cos (-x) (свойства) В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y cos x – четная и cos (-x) cos (x) все свойства функции y cos x справедливы и для функции y cos (-x)

32: y cos x Часть графика, расположенная в области х 0, остается без изменения, а его часть для области х 0 заменяется симметричным отображением относительно оси ординат части графика для х 0.

33: y cosx (свойства) В данном случае свойства функции не меняются, так как функция y cos x – четная и cos x cos (-x) cos (x) все свойства функции y cos x справедливы и для функции y cos x

34: y 3 cos x – 2 Построить график функции y 3cos x –2 (параллельный перенос графика y 3cos x вдоль оси OY на 2 единицы вниз).

35: Свойства функции y 3 cos x – 2 Область определения: D(f): х R; Множество значений: y - 5; 1, т. к. –1 cos x 1 - 3 3cos x 3 - 5 3cos x – 2 1; Периодичность: Т 2; Четность: четная, т. к. 3сos (-x) –2 3cos x – 2 график функции симметричен относительно оси OY; Возрастает: на отрезке ; 2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n 1, 2; 3…; Убывает: на отрезке 0; и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n 1, 2, 3…

36: y 3 – 2 cos (x /2) Построим график функции y cos x; Построим график функции y cos (x /2)(параллельный перенос графика функции y cos x вдоль оси абсцисс на /2 единиц влево); Построим график функции y 2cos(x /2)(растяжение графика функции y cos(x /2) вдоль оси OY в 2 раза); Построим график функции y - 2cos(x /2)(симметричное отражение графика функции y 2cos (x /2) относительно оси OX); Построим график функции y 3 – 2cos (x /2) (параллельный перенос графика функции y - 2cos (x /2) вдоль оси OY на 3 единицы вверх).

37: Свойства функции y 3 – 2 cos (x /2) Область определения: D(f): x R; Множество значений: y 1; 5, т. к. –1 cos (x /2) 1 –2 2cos (x /2) 2 1 3 – 2cos (x /2) 5; Периодичность: Т 2; Четность: ни четная, ни нечетная, т. к. у(-х) у(х) -у (х) (график не симметричен ни оси OY, ни началу координат ) Возрастает: на 3/2; 5/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n 1, 2, 3… Убывает: на /2; 3/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n 1, 2, 3… Функция принимает значения равные: нулю: нет (уравнение 3 – 2cos( x /2) 0 не имеет корней т. к. - 3/2 1); положительные: при любом х; наибольшее, равное 5: при x /2 2n, n Z. наименьшее, равное 1: при х - /2 2n, n Z.

Скачать презентацию


MirPpt.ru