1: Лекция 3 Математические модели сигналов Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. Классификация сигналов: Сигналы – детерминированные и случайные; периодические и непериодические; импульсные (видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые, дискретные и цифровые. Математические модели физических сигналов: временная и частотная формы представления аналоговых сигналов
2: Математические модели сигналов Временной формой представления аналогового сигнала называют такое разложение сигнала , при котором в качестве базисных функций используются дельта-функции . Пользуясь фильтрующим свойством дельта-функции, можно записать: Таким образом, функция выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности.
3: Частотная форма представления периодических сигналов Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал: Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид: Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье находят по формулам:
4: Частотная форма представления периодических сигналов В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой : и получить другую, эквивалентную форму ряда Фурье:
5: Частотная форма представления периодических сигналов Ряд Фурье для периодического сигнала может быть записан в комплексной форме: где Функцию принято называть комплексным спектром периодического сигнала . Этот спектр – дискретный, или линейчатый, так как функция определена только для целых значений .
6: Частотная форма представления периодических сигналов Значение функции при конкретном называют комплексной амплитудой. Запишем комплексный спектр в форме модуля и аргумента: Модуль комплексного спектра называют спектром амплитуд, а функцию - спектром фаз сигнала. Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными. При этом спектр амплитуд является четной функцией , а спектр фаз – нечетной функцией .
7: Частотная форма представления периодических сигналов Спектральные характеристики периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью и амплитудой , следующих с частотой найдем, записав сигнал в виде ряда Фурье в соответствии с выражением: Значения коэффициентов равны: поэтому где скважность периодической последовательности
8: Частотная форма представления периодических сигналов Амплитуды гармоник периодической последовательности импульсов, включая постоянную составляющую , определяются выражением: Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции:
9: Частотная форма представления периодических сигналов Анализ спектральных характеристик периодической последовательности импульсов показывает: При больших значениях скважности импульсной последовательности амплитудный спектр сигнала содержит большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник. При этом расстояние между соседними линиями мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Значение постоянной составляющей примерно вдвое меньше амплитуды первой гармоники . На частотах, кратных , огибающая спектра равна нулю. Следовательно, амплитуда гармоник, чей номер кратен скважности , будет равна нулю.
