1: Математический анализ Поток ММ лектор Профессор, доктор физико-математических наук, Заслуженный деятель науки РФ Треногин Владилен Александрович
2: ПРОГРАММА ПЕРВОГО СЕМЕСТРА Раздел 1. Введение в анализ. Раздел 2. Предел функции. Непрерывность функций одной переменной. Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Раздел 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
3: РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Тер-Крикоров А. М. , Шабунин М. И. Курс математического анализа. – М. : Физматлит, 2003. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М. : Наука, 1969. – Т. 1. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М. : Высшая школа, 1981. – Т. 1. Сборник задач по математике для втузов. Под редакцией А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике.
4: Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.
5: Лекция 1. 1. Предмет математического анализа, его роль в изучении и создании математических моделей. Математическая символика. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числового множества. Теорема существования точной грани ограниченного множества. Числовые функции
6: Предмет математического анализа. Математический анализ – обширный раздел математики, в котором функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых. В природе и технике всюду встречаются движения, процессы, которые описываются функциями; законы явлений природы также обычно описываются функциями. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Основы математического анализа включают в себя теорию действительного числа, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление и их приложения, теорию рядов.
7: Историческая справка Начиная с математиков Древней Греции и вплоть до Начиная с трудов математиков Древней Греции и вплоть до 17 века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач; например, в интегральном исчислении проводилось вычисление площадей различных фигур и объемов тел с кривыми границами, вычисление работы переменной силы и т. д. Каждая такая задача решалась сложным и громоздким методом исчерпывания. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона (I. Newton), Г. Лейбница (G. Leibniz), Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange) и других ученых 17-18 века, а его современная база – теория пределов – была разработана О. Коши (A. Cauchy) лишь в начале 19 века.
8: Ньютон (Newton) Исаак (1643 – 1727) Великий английский математик, механик, астроном и физик, президент Лондонского королевского общества с 1703 г. Разработал (независимо от Г. Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисления.
9: Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646-1716) Выдающийся немецкий математик, физик, языковед и философ-идеалист . Основатель и президент Берлинского научного общества. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России. Создатель теории нестандартного дифференциального и интегрального исчисления.
10: Эйлер (Euler) Леонард (1707 - 1783) Великий швейцарский, российский и немецкий математик, механик, физик и астроном. Не найдя в Швейцарии условий для научной деятельности, переехал в 1727 году в Россию. С 1766 академик Петербургской АН. В период политической неустойчивости России, когда наукой пренебрегали перешел на работу в Германию. Вернулся в Россию по приглашению Екатерины Второй. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике и гидромеханике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. , оказавших решающее влияние на развитие всех этих и многих других областей науки.
11: Лагранж (Lagrange) Жозеф Луи (1736-1813) Выдающийся французский математик и механик, президент Берлинской АН, иностранный почетный член Петербургской АН. Основополагающие труды по математическому анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению, .
12: Коши (Cauchy) Огюстен Луи (1789 – 1857) Выдающийся французский математик, иностранный почетный член Петербургской АН (1831). Разработал базу математического анализа – теорию пределов. Один из создателей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.
13: Символы математической логики
14: Множества. Операции над множествами.
15: Числовые множества.
16: . .
17: . .
18: Некоторые свойства модуля вещественного числа. Для любого вещественного числа а число называется абсолютной величиной числа а или модулем. Неравенство а эквивалентно неравенствам – а . Неравенство а эквивалентно совокупности неравенств Перечислим без доказательства основные свойства модуля: – а а ; аb а b ; а b а b ; а – b а – b .
19: Ограниченные и неограниченные множества Множество Х R называется ограниченным снизу, если существует число С1R такое, что для всех хХ выполняется неравенство С1 x. Число С1 называется нижней гранью множества Х. Множество Х R называется ограниченным сверху, если существует число С2R, такое что для всех хХ выполняется неравенство x С2. Число С2 называется верхней гранью множества Х. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным множеством. Последнее определение эквивалентно следующему: Множество Х R ограничено С 0 : хХ х С. Определение неограниченного множества можно сформулировать как отрицание последнего: Множество Х R неограничено, если С 0 хХ: х С.
20: Определение точной верхней и нижней грани Наименьшая из верхних граней множества Х R называется его точной верхней гранью и обозначается через supX или (читается «супремум»). Определение 1. Число М supX, если: 1) х Х x М; 2) ε 0 хε Х : М - ε хε М. Наибольшая из нижних граней множества Х R называется его точной нижней гранью и обозначается через inf X или (читается «инфимум»). Определение 2. Число m inf X, если: 1) х Х x m; 2) ε 0 хε Х : m хε m ε.
21: ПРИМЕРЫ. ПРИМЕРЫ. 1) Х (0, 1) supX 1 Х, inf X 0 Х; 2) Х (0, 1 supX 1 Х, inf X 0 Х; 3) Х (0, 1)2 supX 2 Х. АКСИОМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЧНОЙ ВЕРХНЕЙ ГРАНИ. К известным из школы свойствам вещественных чисел добавим следующее: У всякого непустого, ограниченного сверху множества существует его точная верхняя грань. Отсюда имеем: У всякого непустого, ограниченного снизу множества существует его точная нижняя грань.
22: Числовые функции Понятие числовой функции действительной переменной Если каждому х Х R поставлено в соответствие по некоторому правилу единственное y Y R, то говорят, что на множестве Х определена числовая функция действительной переменной х. Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например f, и пишут y f(x), х Х. Множество X называют областью определения функции и обозначают D(f). Множество Y называют множеством значений функции и обозначают Е(f). Для обозначения функции используют также запись вида f: XY.
23: График функции График функции Графиком функции y f(x), хХ в прямоугольной системе координат называется множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)). ПРИМЕР y signx График функции иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции f(x), как показано в таблице:
25: Четные и нечетные функции Четные и нечетные функции Функция f(x) определенная на множестве X, называется четной, если для любого x X выполняются условия: - x X и f(- x) f(x), нечетной, если для любого x X выполняются условия: - x X и f(- x) - f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
26: Периодические функции Периодические функции Функция f(x) определенная на множестве X, называется периодической с периодом Т 0 , если для любого x X выполняются условия: x T X, x - T X и f(x T) f(x-T) f(x). Ограниченные и неограниченные функции Функция f(x), называется ограниченной на множестве X, если множество ее значений ограничено, т. е. существует такое число C0, что для любого x X выполняется неравенство: f(x) C. Функция f(x) не ограничена на множестве X, если последнее условие не выполняется, т. е. С 0 xc X: f(xc) C.
27: Монотонные функции Монотонные функции Функция f(x) называется возрастающей (строго возрастающей) на множестве X, если для всех х1, х2 X, таких что х1 х2, выполняется неравенство: f(x1) f(x2) ( f(x1) f(x2) ). Функция f(x) называется убывающей (строго убывающей) на множестве X, если для всех х1, х2 X, таких что х1 х2 , выполняется неравенство: f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2) ). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
28: Обратная функция D(f) a, b – область определения функции f(x), Е(f) c, d – область значений функции f(x). Если f(x) такова, что для любого уо Е(f), уравнение f(x) уо имеет единственное решение, то эту функцию называют обратимой. В этом случае, выразив х из формулы у f(x) и поменяв затем х и у местами, получим обратную функцию, обозначаемую символом f -1или g: у f -1(x) g(x), x D(g).
29: Отметим следующие свойства, показывающие, как связаны данная функция и обратная к ней: Отметим следующие свойства, показывающие, как связаны данная функция и обратная к ней: 1. Если g – функция, обратная к f, то f – функция, обратная к g; при этом D(g) Е(f), Е (g) D (f). 2. g(f(x)) x ,x D (f); f (g (x)) x, x E(f). 3. Если f – строго монотонная функция, то она обратима. 4. График обратной функции у g(x), симметричен графику функции y f(x) относительно прямой у х.
30: Спасибо за внимание!
