Основи Теорії Ігор презентация в формате PowerPoint - скачать бесплатно

1: Розділ 5

2: Основи Теорії Ігор

3: Теорія Ігор

4: Лекція 7. Основні поняття Теорії ІГОР Зміст лекції: 1. Теорія ігор . Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. 3. Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування

6: Теорія ігор . Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту В теорії ігор розглядаються ситуації, повязані з прийняттям рішень, в яких : два розумних противника мають конфліктуючі цілі. типові приклади рекламування конкуруючих товарів планування військових стратегій протиборчих армій. Відмінність від попередніх ситуацій Раніше природа не виступала в ролі противника (недоброзичливця) яким відповідають платежі, які залежать від випадкових станів природи.

7: Теорія ігор . Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту В ігровому конфлікті беруть участь два противника, іменовані гравцями, кожен з яких має деяку множину (кінцеву або нескінчену) можливих виборів, які називаються стратегіями. З кожною парою стратегій повязаний платіж, який один з гравців виплачує іншому. Такі ігри відомі як ігри двох осіб з нульовою сумою, (виграш одного гравця дорівнює програшу іншого). У такій грі достатньо задати результати у вигляді платежів для одного з гравців.

8: Теорія ігор . Проблема Прийняття рішень в умовах конфлікту При позначенні гравців через А і В з числом стратегій n і m відповідно гру зазвичай представляють у вигляді матриці платежів гравцеві А: Таке представлення матричної гри означає, що якщо гравець А використовує стратегію i, а гравець В - стратегію j, то платіж гравцеві А становить аij і, отже, гравцеві В - (-аij ).

10: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Оскільки гри беруть свій початок в конфлікті інтересів, оптимальним рішенням гри є одна або декілька таких стратегій для кожного з гравців, при цьому будь-яке відхилення від даних стратегій не покращує плату того чи іншого гравця. Ці рішення можуть бути у вигляді єдиної чистої стратегії або декількох стратегій, які є змішаними ( відповідно з заданими вірогідностями). Розглянуті нижче приклади демонструють перераховані ситуації.

11: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 1 . Дві компанії А і В продають два види ліків проти грипу. Компанія А рекламує продукцію на радіо (А1), телебаченні (А2) і в газетах (А3). Компанія В, на додаток до використання радіо (B1), телебачення (B2) і газет (B3), розсилає також поштою брошури (B4).

12: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 1 продовження. Залежно від уміння й інтенсивності проведення рекламної кампанії, кожна з компаній може залучити на свою сторону частину клієнтів конкуруючої компанії. Наведена матриця характеризує відсоток клієнтів, залучених або втрачених компанією A.

13: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1. продовження Аналіз стратегій комп. А. Рішення гри засноване на забезпеченні найкращого результату з найгірших для кожного гравця. Якщо компанія A вибирає стратегію A1, то, незалежно від того, що вживає компанія В, найгіршим результатом є втрата компанією А 3 ринку на користь компанії В. Це визначається мінімумом елементів першого рядка матриці платежів. Аналогічно при виборі стратегії A2 найгіршим результатом для компанії А є збільшення ринку на 5 за рахунок компанії В. Нарешті, найгіршим результатом при виборі стратегії A3 є втрата компанією А 9 ринку на користь компанії В. Ці результати містяться в стовпці "Мінімуми рядків"

14: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження Аналіз стратегій комп. B. Так як елементи матриці є платежами компанії А, критерій найкращого результату з найгірших для компанії В відповідає вибору мінімаксного значення. В результаті приходимо до висновку, що вибором компанії В є стратегія B2.

15: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження Оптимальним рішенням у грі є вибір стратегій A2 і B2, тобто обом компаніям слід проводити рекламу на телебаченні. При цьому виграш буде на користь компанії А, так як її ринок збільшиться на 5. У цьому випадку говорять, що ціна гри дорівнює 5 і що компанії А і В використовують стратегії, відповідні седловій точці.

16: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад 1. продовження Рішення, що відповідає сідловой точці, гарантує, що жодної компанії немає сенсу намагатися вибрати іншу стратегію. Дійсно, якщо компанія В переходить до іншої стратегії (B1, B3 або B4), то компанія А може зберегти свій вибір стратегії A2, що призведе до більшої втрати ринку компанією B (6 або 8). З тих же причин компанії А немає резону використовувати іншу стратегію, бо якщо вона застосує, наприклад, стратегію A3, то компанія В може використовувати свою стратегію B3 і збільшити свій ринок на 9 . Аналогічні висновки мають місце, якщо компанія А буде використовувати стратегію A1.

17: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад1. продовження Оптимальне рішення гри, що відповідає сідловой точці, не обовязково має характеризуватися чистими стратегіями. Замість цього оптимальне рішення може вимагати змішування випадковим чином двох або більше стратегій ( як це зроблено в наступному прикладі)

18: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою. Приклад2. Два гравці A і В грають у гру на підкидання монети. Гравці одночасно і незалежно один від одного вибирають герб (Г) або решку (Р). Якщо результати двох підкидань монети збігаються (тобто ГГ або РР), то гравець А отримує один долар від гравця В . Інакше гравець А платить один долар гравцеві В. Матриця платежів гравцеві А показує величини мінімальних елементів рядків і максимальних елементів стовпців, відповідних стратегій обох гравців.

19: 2. Приклад2. Максиміна і мінімаксна величини (ціни) для цієї гри дорівнюють -1 дол. і 1 дол. відповідно. Так як ці величини не рівні між собою, гра не має рішення в чистих стратегіях. Зокрема, якщо гравець А використовує стратегію AГ, гравець В вибере стратегію BР, щоб отримати від гравця А один долар. Якщо це станеться, гравець А може перейти до стратегії AР, щоб змінити результат гри і отримати один долар від гравця В.

20: 2. Приклад2. Постійна спокуса кожного гравця перейти до іншої стратегії вказує на те, що рішення у вигляді чистої стратегії неприйнятне. Замість цього обидва гравці повинні використовувати належну випадкову комбінацію своїх стратегій. У розглянутому прикладі оптимальне значення ціни гри знаходиться десь між максімінною і мінімаксною цінами для цієї гри: Максиміна(нижня)ціна ціна гри мінімаксна (верхня) ціна. В даному випадку ціна гри (в доларах) повинна лежати в інтервалі -1,1 .

21: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 . Знайдіть рішення, яке визначається сідловою точкою відповідні чисті стратегії та ціну гри для гри (платежі задані для гравця А)

22: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 . Знайдіть рішення, яке визначається сідловою точкою відповідні чисті стратегії та ціну гри для гри (платежі задані для гравця А) Рішення Ціна гри 4.

23: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 3 . Знайдіть рішення, яке визначається сідловою точкою відповідні чисті стратегії та ціну гри для гри (платежі задані для гравця А)

24: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 4 . Вкажіть область, якій належить ціна гри припускаючи, що платежі задані для гравця А.

25: 2. Оптимальне рішення гри двох осіб з нульовою сумою Приклад 4 . Вкажіть область, якій належить ціна гри припускаючи, що платежі задані для гравця А. Рішення Позначимо через v ціну гри. Тоді 2 v 4.

26: 3. Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях

27: 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях Може бути знайдено графічно, або методами лінійного програмування. Графічний метод можна застосовувати для вирішення ігор, в яких хоч один гравець має дві чисті стратегії. Цікавий в тому плані, що графічно пояснює поняття сідлової точки. Методами лінійного програмування може бути вирішена будь-яка гра двох осіб з нульовою сумою.

28: 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Постановка задачі Розглянемо гру 2 х n, в якій гравець А має дві стратегії. Гра передбачає, що гравець А змішує стратегії А1 и А2 з відповідними вірогідностями x1 та 1 - x1, 0 x1 1. Гравець Б змішує стратегії B1, B2, . . . , BN з вірогідностями y1, y2, . . . , yn, де yJ 0, j 1, 2, . . . , n, та y1 y2 . . . yn 1. У цьому випадку очікуваний виграш гравця А, що відповідає j-й чистій стратегії гравця Б, обчислюється в вигляді (a1j - a2j)x1 - a2j, j 1, 2, . . . , n. Отже, гравець А шукає величину x1, яка максимізує мінімум очікуваних виграшів

30: 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Рассмотрим следующую игру 2x4, в которой платежи выплачиваются игроку A. Игра не имеет решения в чистых стратегиях, и, следовательно, стратегии должны быть смешанными. Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, приведены в следующей таблице

31: 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження 4 прямі лінії, відповідають чистим стратегіям гравця В. Щоб визначити найкращий результат з найгірших, побудована нижня обвідна чотирьох прямих (зображена товстими сегментами), яка представляє мінімальний (найгірший) виграш для гравця А незалежно від того, що робить гравець В. Максимум нижньою обвідної відповідає Максиміну (в точці x1 0,5). Ця точка визначається перетином прямих 3 і 4.

32: 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження Оптимальна змішана стратегія гравця В визначається двома стратегіями, які формують нижню огибаючу графіка. Це означає, що гравець В може змішувати стратегії B3 і B4, в цьому випадку y1 y2 0 и y4 1- y3. Отже, очікувані платежі гравця В, що відповідають чистим стратегіям гравця А, мають вигляд

33: 3Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. Графічний метод рішення. Приклад. Продовження Результат Рішення гри для гравця А -змішування стратегій A1 і A2 з рівними ймовірностями 0,5 і 0,5, а для гравця В - змішування стратегій B3 і B4, з вірогідністю 7/8 і 1/8. (Насправді гра має альтернативне рішення для гравця В, так як Максиміна точка на рис. 1 визначається більш ніж двома прямими. Будь яка опукла лінійна комбінація цих альтернативних рішень також є рішенням задачі. )

34: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування

35: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Теорія ігор знаходиться в тісному звязку з лінійним програмуванням, так як будь-яку кінцеву гру двох осіб з нульовою сумою можна представити у вигляді задачі лінійного програмування і навпаки.

36: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Оптимальні значення ймовірностей xi, i 1, 2, . . . , m, гравця А можуть бути визначені шляхом вирішення максимінної задачі.

37: Довідка Джон фон Нейман . англ. John von Neumann), Нейман Янош Лайош (угор. Neumann János Lajos), Йоганн фон Нойман (нім. Johann von Neumann) 28 грудня 1903 — 8 лютого 1957) — американський математик угорського походження, що зробив значний вклад у квантову фізику, функціональний аналіз, теорію множин, інформатику, економічні науки та в інші численні розділи знання. Він став засновником теорії ігор разом із Оскаром Морґенштерном у 1944 році. Розробив архітектуру (так звану «архітектуру фон Неймана»), яка використовується в усіх сучасних компютерах

38: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Оптимальні значення ймовірностей xi, i 1, 2, . . . , m, гравця А можуть бути визначені шляхом вирішення максимінної задачі.

39: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у вигляді задачі лінійного програмування, припустимо Звідси витікає , що

40: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у вигляді задачі лінійного програмування, припустимо Звідси витікає , що

41: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Щоб сформулювати цю задачу у вигляді задачі лінійного програмування, припустимо Звідси витікає , що

42: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Відзначимо, що ціна гри v може бути як позитивною, так і негативною. Оптимальні стратегії y1, y2, . . . ,yn гравця В визначаються шляхом рішення задачі Використовуючи процедуру, аналогічну наведеній вище для гравця А, приходимо до висновку, що задача для гравця В зводиться до задачі

43: 4. Рішення матричних ігор методами лінійного програмування Дві отримані задачі оптимізують одну і ту ж (не обмежену в знаці) змінну v, яка є ціною гри. Причиною цього є те, що задача гравця В є двоїстою до задачі гравця А.

44: 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування

45: 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування Задача Значення ціни гри v знаходиться між -2 та 2. ? Що необхідно знайти????

46: 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування Задача Задача лінійного програмування и для гравця А Максимізувати z v v - 3x1 2x2 5x3 0, v x1 - 4x2 6x3 0, v 3x1 x2 - 2x3 0, x1 x2 x3 1, x1, x2, x3 0, v не обмежена в знаці. Оптимальне рішення x1 0,39, x2 0,31, x3 0,29 v -0,91.

47: 5. Приклад рішення матричної гри методами лінійного програмування Задача Задача лінійного програмування и для гравця В Мінімізувати z v v - 3y1 y2 3y3 0, v 2y1 - 4y2 y3 0, v 5y1 6y2 - 2y3 0, y1 y2 y3 1, y1, y2, y3 0, v не обмежена в знаці. Оптимальне рішення y1 0,32, y2 0,08, y3 0,60 v -0,91.