1: способов решения тригонометрического уравнения или еще раз о Авторы проекта: Шишкина Диана Диденко Инна 10 класс
2: Математики видят ее в: гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, богатстве приложений универсальных математических методов.
3: Но красота математики выражается не только в красоте форм ,наглядной выразительности математических объектов, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями. Ее привлекательность будет усиливаться за счет эмоционально-экпрессивной составляющей - оригинальности, неожиданности, изящества.
4: Можно ли насладиться решением уравнения sinx-cosx1? Да, если стать его исследователем!
5: Универсальные методы решения уравнения sin x – cos x1 Мы уже говорили о богатстве приложений универсальных математических методов. При решении уравнений одним из них является метод разложения на множители. Можно ли применить его к решению уравнения Sin x –cos x 1? На первый взгляд,кажется что нет…
6: Рассуждаем
7: Ну, конечно,вы догадались ! Необходимо перейти к половинному аргументу, применив формулу повышения степени
8: Разложение левой части уравнения на множители sinx-cosx1
9: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому однородное уравнение первой степени.
10: Делим обе его части на что противоречит тождеству Получим Ответ:
11: Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса sinx-cosx1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:
12: Тригонометрия удивительна тем ,что она даёт собственные оригинальные способы преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение: Тригонометрия удивительна тем ,что она даёт собственные оригинальные способы преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение: Но увы, в левой части уравнения, мы видим разноименные функции. Как изменить название функции на «кофункцию» ? Есть изящный способ!!! Всего лишь нужно применить формулу приведения!
13: Преобразование разности ( или суммы) тригонометрических функций в произведение. sinx-cosx1 Запишем уравнение в виде: Применяя формулу разности двух синусов, получим Ответ:
14: 4-й способ Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций Так как Возведем обе части полученного уравнения в квадрат
15: В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка. Выполним ее. Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:
16: Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверим Левая часть: Правая часть:1. Следовательно,
17: 5-й способ Выражение всех функций через tgx (универсальная подстановка) по формулам:
18: Умножим обе части уравнения на
19: При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т. е. Следует проверить, не является ли хπ2πk решением данного уравнения. Левая часть: sin(π2πk)-cos(π2πk)sinπ-cosπ0-(-1)1. Правая часть: 1. Значит, хπ2πk, kZ – решение уравнения. Ответ:
21: 6-й способ Введение вспомогательного угла (числа) sinx-cosx1 В левой части вынесем за скобку ( корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinx и cosx). Получим Ответ:
22: 7-способ Возведение обеих частей уравнения в квадрат sinx-cosx1
23: Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние. Ответ:
24: ВСЁ! Точнее почти всё! Осталось выбрать метод решения, победивший в номинации: Самый простой; Самый оригинальный; Самый неожиданный; Самый универсальный …
