1: Вероятность и геометрия
2: Классическая вероятностная схема Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого числа опытов следует: Найти число N всех возможных исходов данного испытания; Найти количество N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие A; Найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события A.
3: Классическое определение вероятности Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.
4: Общее правило, для нахождения геометрических вероятностей Если площадь S(A) фигуры A разделить на площадь S(X) фигуры X, которая целиком содержит фигуру A, то получится вероятность того, что случайно выбранная точка фигуры X окажется в фигуре A: PS(A)/S(X)
5: Пример 1 Отрезок единичной длины случайным образом разделяют на три отрезка. Какова вероятность того, что из них можно сложить треугольник?
6: Построение модели Пронумеруем отрезки слева направо и обозначим их длины за x, y и z. Так как xyz1, то z1-x-y0. Значит, x0, y0 и при этом xy0 y0 xy
7: Получим треугольник с вершинами (0;0) (1;0) (0;1) без учета его сторон. Каждому способу деления заданного отрезка на три части x,y,z поставим в соответствие точку (x,y) из треугольника. Выбрав точку(x,y) мы однозначно зададим и разбиение заданного отрезка единичной длины на три отрезка 0;x x;xy xy;1.
9: Работа с моделью xyzxy1-x-yxy0. 5 xzyx1-x-yyyxy1-x-yxx
10: Вероятность того, что точка окажется окажется в меньшем треугольнике P(A)0. 25
11: Пример 2 Случайным образом нарисовали треугольник. Какова вероятность того, что он является остроугольным?
12: Построение модели Переформулируем задачу: Число 180 случайным образом представили в виде суммы трех положительных слагаемых. Какова вероятность того, что все слагаемые меньше 90?
13: Пусть 0
15: Работа с моделью Отметим в нашей модели точки, соответствующие остроугольным треугольникам. x
16: S(ABC)/S(AOB)(0. 5 ACBC)/(0. 5ACOB) BC/OB S(ABC)/S(AOB)(0. 5 ACBC)/(0. 5ACOB) BC/OB По теореме Фалеса BC/OB0,25 P(A)0. 25
17: Пример 3 Два шпиона решили встретиться у фонтана. Каждый из них может гарантировать только то, что он появится у фонтана с 12-00 до 13-00. По инструкции шпион после прихода ждет встречи у фонтана 15 минут и по их истечении (или ровно в 13:00) уходит. Какова вероятность встречи?
18: Построение модели За единицу отсчета возьмем 1 час, а за начало отсчета возьмем 12:00. Пусть x - время прихода первого шпиона, а y - время прихода второго. Тогда ox1, 0 y 1 и точка (x,y) квадрата с вершинами О(0;0) А(0;1) В(1;1) С(1;0) будет соответствовать времени прихода первого и второго шпионов.
20: Работа с моделью Встреча произойдет, только если время прихода первого шпиона отличается от времени прихода второго не более чем на 15 минут. Т. е. 0 x 10 x 1 0 y 10 y 1 y-x 0. 25x-0. 25 y x0. 25 Получается часть квадрата ОАВС, лежащая между прямыми yx-0. 25 и yx0. 25
21: Незаштрихованная часть состоит из двух прямоугольных треугольников, катеты которых равны 0,75. Значит их площадь равна 0,5625. Т. е. заштрихованная часть составляет 0,4375 от площади всего квадрата. Это и есть искомая вероятность P(A)0. 4375
22: Презентацию выполнила: Презентацию выполнила: Горбунова Елена, ученица 11Б класса, МОУ «Гимназия 11»
